1ère: Second degré / Polynôme

Mis à jour : juin 11


Auteur : Mario


CHAPITRE Second degré / Polynôme


I. Résolution d'une équation du second degré


Forme canonique : f(x) = a.(x - α) 2 + β

Alpha , α = − b/2a

Beta , β = ( b 2 - 4ac ) / 4a

Définition : On appelle discriminant du trinôme ax 2 + bx + c , le nombre réel, noté Δ,

égal à b2 − 4ac .


- Propriété : Soit Δ le discriminant du trinôme ax 2 + bx + c .

- - Si Δ < 0 : L'équation ax 2 + bx + c = 0 n'a pas de solution réelle.

- - Si Δ = 0 : L'équation ax 2 + bx + c = 0 a une unique solution : x0 = − b/ 2a .

- - Si Δ > 0 : L'équation ax 2 + bx + c = 0 a deux solutions distinctes,

x1 = (−b − √ Δ )/ 2a et x2 = (−b + √ Δ) / 2a .


II. Factorisation d'un trinôme


Propriété :

- Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur ℝ par f (x) = ax 2 + bx + c .

- Si Δ = 0 : Pour tout réel x, on a : f (x) = a(x − x0 )^2 .

- Si Δ > 0 : Pour tout réel x, on a : f (x) = a(x - x1)(x - x2)

-Si Δ < 0 , on n’a pas de forme factorisée de f


III. Signe d'un trinôme


IV.Factoriser une fonction polynôme sans discriminant


On commence par isoler une racine, dite évidente.

puis, pour déterminer la deuxième, on utilise le produite de racines P qui vaut,

x2 × x1 = c/a ou, l’on peut aussi utiliser la somme des racines, S = -b/a

Lorsqu’on doit calculer deux nombres réels et qu’on nous donne S et P

on commence par calculer le Delta de x^2 - Sx + P = 0 puis on effectue, selon le signe de delta, le calcul des racines comme vu Chapitre 2.


Chapitre II: Dérivations, Variations de dérivées


Rappels:

On donne deux points A(2;-1) et B(4;5), les points A et B n’ont pas la

même abscisse, donc la droite (AB) n’est pas parallèle à l’axe des

ordonnées. Elle admet donc une équation de la forme y=mx + p

sa pente m vaut (yb - ya) / (xb - xa) = 5-(-1) / 4-2 =6 / 2 = 3

A(2; -1) appartient à (AB) donc ya=mx + p = -1 = 3 x 2 + p

p= -1 - 6 = -7

Une équation de (AB) est donc y=3x - 7

Déterminer un nombre dérivé d’une fonction


1. Taux de variation

f désigne une fonction définie sur un intervalle I, a un nombre réel

appartenant à I et h un nombre réel non nul tel que a+h appartient aussi

à I. On note Cf l courbe représentative de f dans le plan muni d’un

repère.

le taux de variation f entre a et a + h est défini par

t(h) = f(a + h) - f(a) / h

On dit que la fonction f est dérivable en a si le taux de variation t(h) de f

entre a et a + h tend vers un nombre réel lorsque h tend vers 0.

n est appelé nombre dérivé de la fonction f en a: on le note f’(a).

On a f’(a) = n = lim h⬌0 (f(a + h) - f(a)) / h


2.Tangente

La tangente à la courbe Cf au point A(a ; f(a)) est la droite passant par le

point A et de pente f’(a).

si la fonction f est dérivable en a , alors la tangente à la courbe Cf au

point A(a; f(a)), a pour équation y= f(a) + f’(a) x (x - a)


3. Dérivés de fonctions usuelles

Tableau :

tableau dérivées complexes :

f’(U + V) = U’ x V + V’ x U

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